选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数
一、选择题
1．下列结论不正确的是()
A．若y＝0，则y＝0
B．若y＝5x，则y＝5
C．若y＝x－1，则y＝－x－2
[答案] D
2．若函数f(x)＝x，则f(1)等于()
A．0 B．－12
C．2 D.12
[答案] D
[解析] f(x)＝(x)＝12x，
所以f(1)＝121＝12，故应选D.
3．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是()
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝14x2，
f(2)＝limx0 f(2＋x)－f(2)x＝limx0 1＋14x＝1.
切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.
4．已知f(x)＝x3，则f(2)＝()
A．0 B．3x2
C．8 D．12
[答案] D
[解析] f(2)＝limx0 (2＋x)3－23x
＝limx0 6x2＋12xx＝limx0 (6x＋12)＝12，故选D.
5．已知f(x)＝x，若f(－1)＝－2，则的值等于()
A．2 B．－2
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] 若＝2，则f(x)＝x2，
f(x)＝2x，f(－1)＝2(－1)＝－2适合条件．故应选A.
6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] ∵y＝x3＋x2－x－1
yx＝(1＋x)3＋(1＋x)2－(1＋x)－1x
＝4＋4x＋(x)2，
y|x＝1＝limx0 yx＝limx0[4＋4x＋(x)2]＝4.
故应选D.
7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为()
A．(－2，－8) B．(－1，－1)
C．(1,1) D.－12，－18
[答案] C
[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，
∵y＝x2，y＝2x.k＝ ＝2x0＝2，
x0＝1，y0＝x20＝1，即P(1,1)，故应选C.
8．已知f(x)＝f(1)x2，则f(0)等于()
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝f(1)x2，f(x)＝2f(1)x，f(0)＝2f(1)0＝0.故应选A.
9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为()
A．y＝－x B．x＝0
C．y＝0 D．不存在
[答案] B
[解析] ∵y＝3x
y＝3x＋x－3x
＝x＋x－x(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2
＝x(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2
yx＝1(3x＋x)2＋3x(x＋x)＋(3x)2
曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，
切线方程为x＝0.
10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是()
A.14433 B.14334
C.12334 D.13443
[答案] A
[解析] s＝4t＋t－4t＝t＋t－t4t＋t＋4t
＝t＋t－t(4t＋t＋4t)(t＋t＋t)
＝t(4t＋t＋4t)(t＋t＋t)
limt0 st＝124t2t＝144t3，
s(3)＝14433 .故应选A.
二、填空题
11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y＝1可以解释为________．
[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动
[解析] 由导数的物理意义可知：y＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是________．
[答案] (2,4)
[解析] 设切点坐标为(x0，x20)，
因为y＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．
13．过抛物线y＝15x2上点A2，45的切线的斜率为______________．
[答案] 45
[解析] ∵y＝15x2，y＝25x
k＝252＝45.
14．(2010江苏，8)函数y＝x2(x0)的图像在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中kN*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
[答案] 21
[解析] ∵y＝2x，过点(ak，a2k)的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12，a3＝4，a5＝1，a1＋a3＋a5＝21.
三、解答题
15．过点P(－2,0)作曲线y＝x的切线，求切线方程．
[解析] 因为点P不在曲线y＝x上，
故设切点为Q(x0，x0)，∵y＝12x，
过点Q的切线斜率为：12x0＝x0x0＋2，x0＝2，
切线方程为：y－2＝122(x－2)，
即：x－22y＋2＝0.
16．质点的运动方程为s＝1t2，求质点在第几秒的速度为－264.
[解析] ∵s＝1t2，
s＝1(t＋t)2－1t2
＝t2－(t＋t)2t2(t＋t)2＝－2tt－(t)2t2(t＋t)2
limt0 st＝－2tt2t2＝－2t3.－2t3＝－264，t＝4.
即质点在第4秒的速度为－264.
17．已知曲线y＝1x.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
[解析] ∵y＝1x，y＝－1x2.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在P(1,1)点导数．
即k＝f(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上．
则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，
那么该切线斜率为k＝f(a)＝－1a2.
则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①
将Q(1,0)坐标代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．
解得a＝12，代回方程①整理可得：
切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为Aa，1a，则切线斜率为k＝－1a2＝－13，解得a＝3，那么A3，33，A－3，3－3.代入点斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．整理得切线方程为y＝－13x＋233或y＝－13x－233.
18．求曲线y＝1x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
[解析] 两曲线方程联立得y＝1x，y＝x2，解得x＝1y＝1.
y＝－1x2，k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，
两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．
S＝1212－12＝34.