选修2-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
一、选择题
1．(2010安徽理，1)i是虚数单位，i3＋3i＝()
A.14－312i
B.14＋312i
C.12＋36i
D.12－36i
[答案] B
[解析] i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)
＝3＋3i12＝14＋312i，故选B.
2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] B
[解析] 考查复数的运算．
z＝－2＋i，对应点位于第二象限，
选B.
3．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()
A．2i
B．i
C．－i
D．－2i
[答案] D
[解析] 本小题主要考查复数的运算．
设z＝bi(bR)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i，
b＋22＝0，b＝－2，
z＝－2i，故选D.
4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，bR)，则乘积ab的值是()
A．－15
B．－3
C．3
D．15
[答案] B
[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算．
1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，
a＝－1，b＝3，ab＝－3.
5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()
A．8
B．6
C．4
D．2
[答案] C
[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算．
∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.
又使in＝1成立的最小正整数n＝4，a(i)＝4.
6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝()
A．2－i
B．2＋i
C．－2－i
D．－2＋i
[答案] A
[解析] 考查复数的运算．
z＝－1＋2i，则5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)
＝10－5i5＝2－i.
7．设a，bR且b0，若复数(a＋bi)3是实数，则()
A．b2＝3a2
B．a2＝3b2
C．b2＝9a2
D．a2＝9b2
[答案] A
[解析] 本小题主要考查复数的运算．
(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i
＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，
3a2b－b3＝0，3a2＝b2，故选A.
8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，zz＝8，则zz等于()
A．i
B．－i
C．1
D．i
[答案] D
[解析] 本题主要考查复数的运算．
设z＝a＋bi(a，bR)，则z＝a－bi，
由z＋z＝4，z z＝8得2a＝4a2＋b2＝8a＝2b＝2
z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.zz＝i，故选D.
9．(2010新课标全国理，2)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝()
A.14
B.12
C．1
D．2
[答案] A
[解析] ∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i
＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2(1＋3)
＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，z－＝3＋i－4，
zz－＝|z|2＝14，故选A.
10．定义运算a bc d＝ad－bc，则符合条件1 －1zzi＝4＋2i的复数z为()
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
[答案] A
[解析] 由定义得1 －1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i
z＝4＋2i1＋i＝3－i.
故应选A.
二、填空题
11.1＋i1－i表示为a＋bi(a，bR)，则a＋b＝________.
[答案] 1
[解析] 本小题考查复数的除法运算．
∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，a＝0，b＝1.
因此a＋b＝1.
12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.
[答案] 1＋i
[解析] 本题主要考查复数的运算．
∵z＝i(2－z)，z＝2i1＋i＝1＋i.
13．关于x的不等式mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．
[答案] 二
[解析] ∵mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1，2)，m0(－1)＋2＝nm(－1)2＝pm，即m0，p0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案] 83
[解析] 设z1z2＝bi(bR且b0)，z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.a＝4b2＝3ba＝83.
三、解答题
15．计算：
(1)－23＋i1＋23i＋21＋i2000＋1＋i3－i；
(2)1＋in＋i2n＋…＋i2000n(nN)．
[解析] (1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i
＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i.
(2)当n＝4k(kN)时，原式＝1＋1＋…＋1 2001＝2001.
当n4k(kN)时，
原式＝1－i2001n1－in＝1－i2000nin1－in＝1－in1－in＝1.
16．已知复数z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，＝z＋ai(aR)，当2时，求a的取值范围．
[解析] z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i
＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i
∵＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i
z＝1＋(a－1)i1－i＝[1＋(a－1)i](1＋i)2＝2－a＋ai2
z＝(2－a)2＋a222
a2－2a－20，1－31＋3
故a的取值范围是[1－3，1＋3]．
17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，cR)．
(1)求b，c的值；
(2)试证明1－i也是方程的根．
[解析] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根
(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0
即b＋c＋(2＋b)i＝0
b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0
把1－i代入方程左边得
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立
1－i也是方程的根．
18．已知＝z＋i(zC)，z－2z＋2是纯虚数，又|＋1|2＋|－1|2＝16，求.
[解析] 设z＝a＋bi(a，bR)
z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a＋2)2＋b2
由z－2z＋2是纯虚数得a2＋b2＝4b0 ①
|＋1|2＋|－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2
＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2
＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2
＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2
＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，
b＝1，
将b＝1代入①得a＝3.
z＝3＋i，＝3＋2i.