选修2-2 1.1 第1课时 变化率问题
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x()
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不等于零
[答案] D
[解析] x可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋x时，函数的改变量y为()
A．f(x0＋x) B．f(x0)＋x
C．f(x0)x D．f(x0＋x)－f(x0)
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量y＝f(x0＋x)－f(x0)，故应选D.
3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为()
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
[答案] D
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
平均变化率为f(－0.9)－f(－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.
4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为()
A．2 B．2.3
C．2.09 D．2.1
[答案] B
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
kAB＝f(1.3)－f(1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋x的平均变化率为()
A．2－x B．－2－x
C．2＋x D．(x)2－2x
[答案] B
[解析] ∵f(2)＝－22＋22＝0，
f(2＋x)＝－(2＋x)2＋2(2＋x)
＝－2x－(x)2，
f(2＋x)－f(2)2＋x－2＝－2－x，故应选B.
6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋x,2＋y)，则yx等于()
A．2 B．2x
C．2＋x D．2＋(x)2
[答案] C
[解析] yx＝f(1＋x)－f(1)x
＝[(1＋x)2＋1]－2x＝2＋x.故应选C.
7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
[答案] A
[解析] S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，
平均速度v＝S(3.3)－S(3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A.
8．在x＝1附近，取x＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是()
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] x＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋x＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3x＋(x)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋x＝－1013.k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.
9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋t]内的平均速度是()
A．v0 B.ts(t0＋t)－s(t0)
C.s(t0＋t)－s(t0)t D.s(t)t
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
10．已知曲线y＝14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()
A.1＋x，14(x)2 B.x，14(x)2
C.1＋x，14(x＋1)2 D.x，14(1＋x)2
[答案] C
[解析] 点Q的横坐标应为1＋x，所以其纵坐标为f(1＋x)＝14(x＋1)2，故应选C.
二、填空题
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，yx＝________.
[答案] (x)2＋6x＋12
[解析] yx＝(2＋x)3－2－(23－2)x
＝(x)3＋6(x)2＋12xx
＝(x)2＋6x＋12.
12．在x＝2附近，x＝14时，函数y＝1x的平均变化率为________．
[答案] －29
[解析] yx＝12＋x－12x＝－14＋2x＝－29.
13．函数y＝x在x＝1附近，当x＝12时的平均变化率为________．
[答案] 6－2
[解析] yx＝1＋x－1x＝11＋x＋1＝6－2.
14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋x,3＋y)，当x＝1时，割线AB的斜率是________；当x＝0.1时，割线AB的斜率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当x＝1时，割线AB的斜率
k1＝yx＝(2＋x)2－1－22＋1x＝(2＋1)2－221＝5.
当x＝0.1时，割线AB的斜率
k2＝yx＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝[2(－1)＋1]－[2(－3)＋1]2＝2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为
f(5)－f(0)5－0＝2.
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
g(－1)－g(－3)－1－(－3)＝－2.
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为
g(5)－g(0)5－0＝－2.
16．过曲线f(x)＝2x2的图象上两点A(1,2)，B(1＋x,2＋y)作曲线的割线AB，求出当x＝14时割线的斜率．
[解析] 割线AB的斜率k＝(2＋y)－2(1＋x)－1＝yx
＝2(1＋x)2－2x＝－2(x＋2)(1＋x)2＝－7225.
17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
[解析] 在x＝2附近的平均变化率为
k1＝f(1＋x)－f(1)x＝(1＋x)2－1x＝2＋x；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝f(2＋x)－f(2)x＝(2＋x)2－22x＝4＋x；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝f(3＋x)－f(3)x＝(3＋x)2－32x＝6＋x.
对任意x有，k1＜k2＜k3，
在x＝3附近的平均变化率最大．
18．(2010杭州高二检测)路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，
则ABAC＝BECD，
即yy＋x＝1.68，所以y＝f(x)＝14x.
(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为
x2－x1＝1.410－1.40＝14，
f(x2)－f(x1)＝1414－140＝72.
所以f(x2)－f(x1)x2－x1＝7214＝14.
即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为14.