选修2-2 1.5.1曲边梯形的面积、1.5.2汽车行驶的路程
一、选择题
1．和式i＝15 (yi＋1)可表示为()
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[答案] C
[解析] i＝15 (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.
2．在求由x＝a，x＝b(ab)，y＝f(x)(f(x)0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] A
[解析] n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.①正确，②③④错误，故应选A.
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于()
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(i[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[答案] C
[解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.
4．(2010惠州高二检测)求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为()
A.i－1n，in B.in，i＋1n
C.t(i－1)n，tin D.t(i－2)n，t(i－1)n
[答案] D
[解析] 在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为tn，故第i－1个区间为t(i－2)n，t(i－1)n，故选D.
5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是()
A.119 B.111256
C.110270 D.2564
[答案] D
[解析] s＝143＋243＋343＋1314
＝13＋23＋33＋4344＝2564.
6．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()
A.limni＝1n[11＋in22n]
B.limni＝1n[11＋2in22n]
C.limni＝1n 11＋i21n
D.limni＝1n[11＋in2n]
[答案] B
[解析] 将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为2n，故应选B.
二、填空题
7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
[答案] 3.92 5.52
8．已知某物体运动的速度为v＝t，t[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
[答案] 55
三、解答题
9．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积．
[分析] 按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．
[解析] 将区间[0,2]分成n个小区间，则第i个小区间为2(i－1)n，2in.
第i个小区间的面积Si＝f2(t－1)n2n，
Sn＝i＝1nf2(i－1)n2n
＝2ni＝1n 4(i－1)2n2＝8n3i＝1n (i－1)2
＝8n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝8n3(n－1)n(2n－1)6
＝8(n－1)(2n－1)6n2.
S＝limnSn＝limn 8(n－1)(2n－1)6n2＝83，
所求曲边梯形面积为83.
[点评] 注意求平方和时，用到数列中的一个求和公式.12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6.不要忘记对Sn求极限．
10．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在12(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
[分析] 汽车行驶路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形面积思想，求和后再求极限值．
[解析] 将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为1＋i－1n，1＋in.
si＝f1＋i－1n1n.
sn＝i＝1nf1＋i－1n1n
＝1ni＝1n 1＋i－1n2＋2
＝1ni＝1n (i－1)2n2＋2(i－1)n＋3
＝1n3n＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n.
s＝limnsn＝limn 3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n＝133.
这段时间行驶的路程为133km.
11．求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
[分析] 选定区间分割近似代替求和取极限
[解析] (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间i－1nt，itn(i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段t＝itn－i－1nt＝tn，在各小区间物体下落的距离记作si(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在i－1nt，itn上任取一时刻i(i＝1,2，…，n)，可取i使v(i)＝g(i－1)nt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t＝tn内所经过的距离可近似表示为sigi－1nttn(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝i＝1nsi
＝i＝1ngi－1nttn
＝gt2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝12gt21－1n.
(4)取极限：s＝limn 12gt21－1n＝12gt2.
12．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.
[解析] (1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2，记第i个区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其长度为
x＝n＋in－n＋i－1n＝1n.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：S1，S2，…，Sn，则小区边梯形面积的和为S＝i＝1nSi.
(2)近似代替
记f(x)＝1x2.当n很大，即x很小时，在区间n＋i－1n，n＋in上，可以认为f(x)＝1x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f(n＋i－1nn＋in)．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋i－1n，n＋in上，用小矩形面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSi＝fn＋i－1nn＋inx＝n2(n＋i－1)(n＋i)1n＝n(n＋i－1)(n＋i)(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝i＝1nSii＝1nSi
＝i＝1n n(n＋i－1)(n＋i)＝nn(n＋1)＋n(n＋1)(n＋2)＋…＋n(n＋n－1)(n＋n)
＝n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n
＝n1n－12n＝12.从而得到S的近似值SSn＝12.
(4)取极限
分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝limnSn＝12.
由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S为12.