选修2-2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、选择题
1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()
A．a－c＝0且b－d0
B．a－c＝0且b＋d0
C．a＋c＝0且b－d
D．a＋c＝0且b＋d0
[答案] A
[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)
＝(a－c)＋(b－d)i，
∵z1－z2是纯虚数，
a－c＝0且b－d0.
故应选A.
2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()
A．－2b－2bi
B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi
D．－2a－2ai
[答案] A
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()
A.115
B.3i
C.115＋3i
D.115＋23i
[答案] C
[解析] 设这个复数为a＋bi(a，bR)，
则|a＋bi|＝a2＋b2.
由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i
即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i
a＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.
所求复数为115＋3i.故应选C.
4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，
z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.
点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.
5．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
[答案] C
[解析] AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知AB＝DC，
－1＋3i＝(3－5i)－z，
z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为()
A．4
B．－1
C．6
D．0
[答案] B
[解析] z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]
＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0
m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B.
7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()
A．－3i
B．3i
C．3i
D．4i
[答案] B
[解析] 令z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝9 ①
又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数
a＝0b＋30 ②
由①②得a＝0，b＝3，
z＝3i，故应选B.
8．已知z1，z2C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()
A．6
B．5
C．4
D．3
[答案] C
[解析] 设z1＝a＋bi(a，bR，a2＋b2＝1)
z2＝c＋di(c，dR)
∵z1＋z2＝2i
(a＋c)＋(b＋d)i＝2i
a＋c＝0b＋d＝2c＝－ad＝2－b，
|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|
＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2
＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.
∵a2＋b2＝1，－11
02－2b4，|z1－z2|4.
9．复数z＝x＋yi(x，yR)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()
A．2
B．4
C．42
D．82
[答案] C
[解析] ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|
x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2
x＝－2y＋3，
2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝814y＋4y42.
10．若xC，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()
A.12＋32i
B．x1＝4，x2＝－1
C．－4＋3i
D.12＋32i
[答案] C
[解析] 令x＝a＋bi(a，bR)
则a2＋b2＝1＋3i－a－bi
所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3
故原方程的解为－4＋3i，故应选C.
二、填空题
11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2－z1|＝______________.
[答案] (x2－x1)2＋(y2－y1)2
[解析] ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，
|z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i]
＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，
32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，
a＋b＝3.
13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.
[答案] 16i
[解析] 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i
＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．
[答案] 4－2i
[解析] ∵BA对应的复数是1＋2i，
BC对应的复数为3－i，
AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又OC＝OA＋AC，
C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
三、解答题
15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
[解析] 解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i
＝0＋(－11)i＝－11i.
16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．
[解析] z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i
由|z1－z2||z1|得
(4－a)2＋44＋9，(4－a)29，17
a的取值范围为(1,7)．
17．已知z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin且z1－z2＝513＋1213i，求cos(＋)的值．
[解析] ∵z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin
z1－z2＝(cos－cos)＋i(sin＋sin)＝513＋1213i
cos－cos＝513 ①sin＋sin＝1213 ②
①2＋②2得2－2cos(＋)＝1
即cos(＋)＝12.
18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；
(2)z1＝2cos－i，z2＝－2＋2isin(0)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求的范围．
[解析] (1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，
f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.
(2)z1＋z2＝(2cos－i)＋(－2＋2isin)＝(2cos－2)＋(2sin－1)i，
由题意得：2cos－202sin－10，即cos22sin12
又[0,2]，故4，56.