选修2-2 3.1.2 复数的几何意义
一、选择题
1．如果复数a＋bi(a，bR)在复平面内的对应点在第二象限，则()
A．a0，b0
B．a0，b0
C．a0，b
D．a0，b0
[答案] D
[解析] 复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0且b0，故应选D.
2．(2010北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案] C
[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，
点C对应的复数为2＋4i，故选C.
3．当231时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵23＜m＜1，3m－20，m－1＜0，
点(3m－2，m－1)在第四象限．
4．复数z＝－2(sin100－icos100)在复平面内所对应的点Z位于()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] z＝－2sin100＋2icos100.
∵－2sin1000,2cos1000，
Z点在第三象限．故应选C.
5．若a、bR，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] a2－6a＋10＝(a－3)2＋10，－b2＋4b－5
＝－(b－2)2－10.所以对应点在第四象限，故应选D.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，tR，则以下结论中正确的是()
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[答案] C
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋11，排除A、B、D，选C.
7．下列命题中假命题是()
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、bR)的模|z|＝a2＋b20总成立．A正确；
②由复数相等的条件z＝0a＝0b＝0.|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，D错．
8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是()
A．－452
B．x2
C．x－45
D．x＝－45或x＝2
[答案] A
[解析] 由题意知(x－1)2＋(2x－1)210，
解之得－452.故应选A.
9．已知复数z1＝a＋bi(a，bR)，z2＝－1＋ai，若|z1||z2|，则实数b适合的条件是()
A．b－1或b
B．－11
C．b
D．b0
[答案] B
[解析] 由|z1||z2|得a2＋b2a2＋1，
b21，则－11.
10．复平面内向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量OA，则向量OA与点A对应的复数分别为()
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[答案] C
[解析] 由题意OA＝OA，对应复数为1＋i，点A对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.
二、填空题
11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(mR)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．
[答案] －，－1－5232，＋
[解析] 复数z对应的点在第一象限
需m2＋m－104m2－8m＋30解得：m－1－52或m32.
12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
[答案] 15－8i
[解析] 设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，
a2＝225，a＝15，z＝15－8i.
13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(mR)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．
[答案] 35
[解析] 将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i
∵复数z对应点位于复平面上的第二象限
m2－8m＋150m2－m－60解得35.
14．若tR，t－1，t0，复数z＝t1＋t＋1＋tti的模的取值范围是________．
[答案] [2，＋)
[解析] |z|2＝t1＋t2＋1＋tt22t1＋t1＋tt＝2.
|z|2.
三、解答题
15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点
(1)位于虚轴上；
(2)位于一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．
[解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.
(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)0，解得m－2或02.
(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，
则4m2＋(4－m2)2＝4
即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝2.
16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的xR，均有|z1||z2|成立，试求实数a的取值范围．
[解析] |z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|
因为|z1||z2|，所以x4＋x2＋1|x2＋a|
x4＋x2＋1(x2＋a)2(1－2a)x2＋(1－a2)0恒成立．
不等式等价于1－2a＝0或1－2a＝－4(1－2a)(1－a2)0
解得－112
所以a的取值范围为－1，12.
17．已知z1＝cos＋isin2，z2＝3sin＋icos，当为何值时
(1)z1＝z2；
(2)z1，z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|2.
[解析] (1)z1＝z2cos＝3sinsin2＝cos
tan＝332sincos＝cos＝2k6(kZ)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
cos＝3sinsin2＝－cos＝k6(kZ)2sincos＝－cos
＝2k＋76Z)．
(3)|z2|(3sin)2＋cos22
3sin2＋cos22sin212
－k4(kZ)．
18．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；
(2)设zC，满足条件|z2||z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解析] (1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2
|z2|＝－12－32i＝1.|z1|＞|z2|.
(2)由|z2||z1|，得12.
因为|z|1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．
|z|2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，
12表示如图所示的圆环．