第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z是实数的充分而不必要条件为()
A．|z|＝z B．z＝z
C．z2是实数 D．z＋z是实数
[答案] A
[解析] 由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|z，故|z|＝z是z为实数的充分不必要条件，故选A.
2．(2010湖北理，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()
A．E B．F
C．G D．H
[答案] D
[解析] 由图可知z＝3＋i，
z1＋i＝3＋i1＋i＝(1－i)(3＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i2＝2－i，对应复平面内的点H，故选D.
3．(2010荷泽高二期中)化简2＋4i(1＋i)2的结果是()
A．2＋i B．－2＋i
C．2－i D．－2－i
[答案] C
[解析] 2＋4i(1＋i)2＝2＋4i2i＝2－i.
4．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i、－2＋i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
[答案] D
[解析] 在复平面内通过这四个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.
5．(2010新课标全国文，3)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，则|z|＝()
A.14 B.12
C．1 D．2
[答案] B
[解析] 由题知：z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i－2－23i＝(3＋i)(－2＋23)(－2－23i)(－2＋23i)＝－34＋14i，可得|z|＝(－34)2＋(14)2＝12，故选B.
6．当z＝－1－i2时，z100＋z50＋1的值是()
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] D
[解析] 原式＝－1－i2100＋－1－i250＋1
＝1－i2250＋1－i2225＋1
＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.
7．复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数，则实数b＝()
A．2 B.12
C．－12 D．－2
[答案] A
[解析] (1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i是纯虚数，2－b＝02b＋10，b＝2.
8．复数z＝－1＋i1＋i－1，在复平面内z所对应的点在()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] z＝(－1＋i)i(1＋i)i－1＝(－1＋i)i－1＋i－1＝－1＋i.
9．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1z2是实数，则实数t等于()
A.34 B.43
C．－43 D．－34
[答案] A
[解析] z1z－2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1z2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝34.因此选A.
10．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝()
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] ∵z＝1－i，
z2－2zz－1＝－2i－2＋2i1－i－1＝－2－i＝－2i，故选B.
11．若z＝cos＋isin(i为虚数单位)，则使z2＝－1的值可能是()
A. B.
C. D.2
[答案] D
[解析] 解法1：将选项代入验证即可．验证时，从最特殊的角开始．
解法2：z2＝(cos＋isin)2＝(cos2－sin2)
＋2isincos＝cos2＋isin2＝－1，
sin2＝0cos2＝－1，2＝2k(kZ)，
＝k2(kZ)，令k＝0知选D.
12．设复数z＝lg(m2－1)＋1－mi，z在复平面内的对应点()
A．一定不在一、二象限
B．一定不在二、三象限
C．一定不在三、四象限
D．一定不在二、三、四象限
[答案] C
[解析] ∵m2－101－m0，m＜－1，此时lg(m2－1)可正、可负，1－m＞2，故选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．已知x＋1x＝－1，则x2006＋1x2006的值为________．
[答案] －1
[解析] ∵x＋1x＝－1，x2＋x＋1＝0.
x＝－1232i，x3＝1.
2006＝3668＋2，x2006＝x3668＋2＝x2，
x2006＋1x2006＝x2＋1x2＝x＋1x2－2＝(－1)2－2
＝－1.
14．若x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________.
[答案] 22
[解析] ∵x、y为共轭复数，x＋y、xyR
由复数相等的条件有：(x＋y)2＝4－3xy＝－6
设x＝a＋bi(a、bR)，则y＝a－bi，
(2a)2＝4a2＋b2＝2，|x|＋|y|＝2a2＋b2＝22.
15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x、y的值分别为________．
[答案] x＝1，y＝1
[解析] 原式可以化为
(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，
根据复数相等的充要条件，有
3y－2x＝1，x－10y＝－9.解得x＝1，y＝1.
16．下列命题中，错误命题的序号是____________．
①两个复数不能比较大小；②z1，z2，z3C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝1；④z是虚数的一个充要条件是z＋zR；⑤若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；⑥复数zR的一个充要条件是z＝z；⑦在复数集内，－1的平方根是i；⑧z21＋z22＝0z1＝z2＝0.
[答案] ①②③④⑤⑧
[解析] ①错误，两个复数如果都是实数，则可比较大小；②错误，当z1，z2，z3不全是实数时不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1时满足条件，但z1z3；③错误，当x＝－1时，虚部也为零，是实数；④错误，此条件是必要非充分条件；⑤错误，当a＝b＝0时，是实数；⑥是正确的；⑦是正确的；⑧错误，如z1＝i，z2＝1满足i2＋12＝0，但z10，z20.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3＋i，向量AC对应复数是－2－4i，向量BC表示的复数是－4－i，求B点对应复数．
[解析] ∵CA表示的复数是2＋4i，
CB表示的复数是4＋i，
AB表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，
故OB＝OA＋AB对应的复数为
(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，
B点对应的复数为zB＝5－2i.
18．(本题满分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz.
[解析] 设z＝a＋bi，则z＝a－bi(a，bR)
(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i
(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i
a＋2b＝42a－b＝3，a＝2，b＝1，z＝2＋i，
z＝2－i，
zz＝2＋i2－i＝(2＋i)25＝35＋45i.
19．(本题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋1z＜0，求z.
[解析] 设z＝x＋yi (x、yR，y0)，x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋1z＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋1x＋yi
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y0，z2＋2z＋1z0，
2x＋1＝0， ①x2－y2＋3x＜0， ②
又x2＋y2＝1. ③
由①②③得 x＝－12，y＝32.
z＝－1232i.
20．(本题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，bR)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|1＝1221＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|1＝1221＝1.即△ABC的面积为1.
21．(本题满分12分)已知复数z1，z2满足条件|z1|＝2，|z2|＝3，且3z1＋2z2＝6，求复数z1和z2.
[解析] 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，dR)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，由3z1＋2z2＝6，得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，
由复数相等得3a＋2c＝6，3b＋2d＝0.
解方程组a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，3a＋2c＝6，3b＋2d＝0，得a＝1，b＝3，c＝32，d＝－332，或a＝1，b＝－3，c＝32，d＝332.
所以z1＝1＋3i，z2＝32－323i，或z1＝1－3i，z2＝32＋323i.
22．(本题满分14分)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，aR，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式．
[解析] |z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.
令t＝2x＋2－x，则t2，且22x＋2－2x＝t2－2.
从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2，
当－a2，即a－2时，g(a)＝a2－2；
当－a2，即a－2时，g(a)＝(a＋2)2＋a2－2＝2|a＋1|.
综上可知，g(a)＝a2－2 (a－2)，2|a＋1| (a－2).