圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现.在笛卡尔直角坐标系中,这些曲线的方程是二次方程,所以圆锥曲线又叫做二次曲线.对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高.在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线.例如,我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆.太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆.这个事实是由开普勒第一定律确定的.

之所以沿着椭圆轨道运动,是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度.事实证明,假如这个速度过大了,运动就会沿着抛物线或双曲线轨道进行.相对于一个静止的物体,并按照万有引力定律受他吸引的物体运动,不可能有任何其他的轨道.因此,二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的.

又如,如果让抛物线绕其轴旋转,就得到一个叫做旋转抛物面的曲面.在抛物面的轴上,有一个具有美妙性质的焦点,任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后,在指向上都平行于抛物面的轴.而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状,并且把灯泡放在焦点上,那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束.这显然是一个很大的优点,因为正是这样一束光线在空间中,甚至于在离光源距离相当大的情况下,很少扩散.当然,实际上我们得不到理想的平行光束,因为灯泡不是一个点,但对于实用的目的来说,只要接近于这样的光束就够了.

天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的.它的作用刚好和探照灯的作用相反:探照灯的反射镜把光线反射到空间,天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上.只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了,这样,我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息,这比肉眼观察所能提供的信息要多的多.

那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴.如果使双曲线绕这条轴旋转,那么,形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处.单叶双曲面是直纹曲面.上面有两组母直线族,各组内母线彼此不相交,而与另一组母线永远相交.正是这种性质在技术中得到了应用.例如,用直立木杆造水塔,如果把这些杆垂直地放置,那就只能得到一个很不牢固的建筑物,他会因为非常小的负荷而损坏.如果立杆时,使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族),并使他们的交点处连接在一起,就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物.许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理.

在尝试解决古代名题的过程中,所发现的各种美妙曲线远不限于螺线,蚌线和圆锥曲线.可是,不管找到了多少美妙的曲线,他们还是解决不了古代名题.要知道,正像我们还记得的那样,要求不只是解出这些名题,而是除了直尺和圆规外,不准利用其他任何工具.而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?

如果这个答案存在的话,对这个问题给予肯定的回答,原则上显得比给予否定的回答更容易,只不过需要尝试才能找到这个答案.经过或多或少,接连不断的寻找,这种题解通常可以找到.

在题解不存在的情况下,事情则难办的多.这时,只有停留在普通的几何直观上,几乎不可能得到所需要的答案.在这种情况下,可以对问题进行精确的代数分析,以便用归结为完成某些代数方程问题的不可能性证明解答这个问题的不可能性.这样,就要求助于代数!