第四章 相似图形
5．相似三角形
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
在七年级的学习中,学生通过观察、测量、画图 、拼摆 等数学活动, 体会了全等三角形中“对应关系”的重要作用。上一节课“相似多边形”的学习，使学生在探索相似形本质特征的过程中，发展了有条理地思考与表达,归纳，反思，交流等能力。
学生活动经验基础：
上述学习经历为学生继续探究“相似三角形”积累了丰富的活动经验和知识基础。
二、教学任务分析
（一）教材的地位和作用分析:
.《相似三角形》在本章中承上启下,
. 体现了从一般到特殊的数学思想；
. 是学生今后学习的基础;
. 是解决生活中许多实际问题的常用数学模型.
即相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习探索三角形相似的条件、三角函数及与此有关的比例线段等知识打下良好的基础。
（二）教学重点：
相似三角形定义的理解和认识。
（三）教学难点：
1..相似三角形的定义所揭示的本质属性的理解和应用；
2..例2后想一想中“渗透三角形相似与平行的内在联系”是本节课的第二个难点。
（四）教法与学法分析:
本节课将借助生活实际和图形变换创设宽松的学习环境； 并利用多媒体手段辅助教学,直观、形象,体现数学的趣味性。
学生则通过观察类比、动手实践、自主探索、合作交流的学习方式完成本节课的学习。
（五）教法建议
1.从知识的逻辑体系出发，在知识的引入时可考虑先复习相似形的概念，在探索归纳给出相似三角形的概念
2.在知识的引入上，可以从生活实例的角度出发，在生活中找几个相似三角形的例子，在此基础上给出相似三角形的概念
3.在知识的引入上，还可以从知 识的建构模式入手，给出几组图形，告诉学生这几组图形都是相似三角形，由学生研究这些图形的边角关系，从而得到对相似三角形的本质认识
4.在相似三角形概念的巩固中，应注意反例的作用，要适当给出或由学生举出不是相似三角形的例子来加深对概念的理解
5.在概念的理解过程中，要注意给出不同层次的图形，要求学生从中找出相似三角形，既增加学生的参与又加深学生对概念的理解
6.在本节内容中对应边及对应角的寻找学生常常出现混淆，教师在教学过程中可设计由浅入深的一系列题组由学生寻找其中的对应边或对应角，并说明根据，有利于知识的掌握
（六）教学目标分析:
通过一些具体问题的情境设置、观察类比、动手操作；让学生积极思考、充分参与、合作探究；深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
教学目标：
1知识与 技能
(1). 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似。
(2). 能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力。
2 过程与方法
(1). 领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。
(2). 经过本节的学习，培养学生通过类比得到新知识的能力，掌握相似三角形
的定义及表示法，会运用相似比解决相似三角形的边长问题。
3 情感态度与价值观
(1). 经历相似多边形有关概念的类比，渗透类比的数学思想，并领会特殊与
一般的关系。
(2). 深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
三、教学过程分析
本节课共设计了五个环节: 1情景引入 归纳定义
2 运用定义 解决问题
3 加深理解 探索规律
4 回顾反思 课堂小结
5.布置作业
第一环节 情景引入 归纳定义
活动内容：回顾与思考(教师展示课件并设问，学生观察类比、自主探索归纳相似三角形的定义)
1.上节课我们学习了相似多边形的定义及记法, 请同学们观察下列图形，并指出哪些图形相似？相似图形的对应边、对应角有什 么关系？
2.请问相似三角形是相似多边形吗？请同学们回忆一下什么叫相似多边形？
3.那么由“相似多边形的定义”你能得出“相似三角形的定义”吗？
4.相似三角形的定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar trangles）
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF
注意：表示两个三角形相似时，要向表示全等
三角形那样把对应顶点写在对应的位置上。
活动目的：通过对旧知识的回顾、经历与相似多边形有关概念的类比，培养学生通过类比探索得到新知识的能力，进而掌握相似三角形的定义及表示法。
活动实际效果：学生的学习热情非常高，轻而易举就归纳出相似三角形的定义，且较好地掌握了相似三角形的表示法。
第二环节：运用定义 解决问题
活动内容：想一想 议一议 例1 例2
1.想一想(展示课件，教师引导、学生自主探索并归纳出相似三角形的性质）
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？
对应边呢？
解：A与D、B与E、C与F.
是对应角
AB与DE AC与DF BC与EF
是对应边
D、E 、F.
= .=
相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2.议一议（展示课件，让学生动手画一画、量一量、算一算，并小组讨论，选代表说明理由）
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个 等边三角形呢？为什么？
解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
如图，虽然都是直角三角形，
但也只能确定有一对角即直角相等，
其他的两对角可能相等，也可能不相等，
对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似
. 如图, 在Rt△ABC和Rt△DEF中，
F=90，则B=E=45，所以有
D，E，F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB= b
DF=EF=a，DE= a
= = =1
所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）如图,两个等腰三角形不一定相似.
如图：因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，
但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似
如图：两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，
因此这两个等边三角形一定有对应角 相等、
对应边成比例，所以它们一定相似
. 例1 例2（展示课件，教师引导分析、学生自主探索，培养学生应用知识解决问题的能力）
3.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，
它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是x cm，
那么 =
则 x=3.5400=1400（cm）=14（m）
所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
4.如图,已知△ABC∽△ADE, AE=50 cm, EC=30 cm, BC=70 cm,BAC=45,
ACB=400，求
（1）AED和ADE的度数。
（2）DE的长.
解：（1）因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等，得
AED=ACB=40
在△ADE中，
AED+ADE+A=180
即40ADE+45=180,
所以ADE=180－40－45=95.
（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对 应边成比例，得
= 即 =
所以 DE= =43.75(cm)
活动目的：让学生动手画一画、量一量、算一算得出两个三角形之间的是否相似？有什么关系？进而考察学生的自主学习情况（包括独立思考能力）和小组间的互助情况。
活动实际效果：学生普遍对教材的内容能够较好地掌握，但对知识的延伸和拓展，由于教材缺乏相关内容，学生的思维无法独立产生飞跃，所以需要教师备课时先做好延伸的准备，即备好相关的内容。这样，教学时学生就犹如享受知识的大餐，使之心理上产生愉悦，进而较好地掌握知识。
第三环节 加深理解 探索规律
活动内容：想一想 合作探究 巩固练习 （展示课件，教师引导、学生合作探究，寻找解决问题的规律）
1.想一想
在例2的条件下，图4-16中有哪些线段成比例？
解：成比例线段有 =
△ABC∽△ADE
= = =
= 即 =
图中有互相平行的线段，即DE∥BC.因为△ABC∽△ADE，所以ADE=B.由平行线的判定方法知DE∥BC.
2.合作探究
1. 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.
（第1题）
解：在（1）中
ABO∽ CDO
=
x=32
在（2）中，由两三角形相似可知：对应角相等，对应边成比例.所以，
n=55，m=80, y=
2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形ABC相似，相似比为3∶1，已知斜边AB=5 cm，(1) 求 △ABC斜边AB的长， (2) 求△ABC斜边AB上的高。
解：(1) 如图所示，因为△ABC∽△ABC，
A且相似比为3∶1.
所以 = . 即 =
AB= （cm） D
(2) CD= AB= （cm）
3.巩固练习: 略
活动目的：加深对相似三角形概念和性质的理解，发展学生的应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
活动实际效果：大部分学生普遍掌握较好，只是个别学生思维能力和计算能力较慢，没有时间等待他们探索出给论，这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，应用新知解决问题能力也较差，今后要注意给每一个学生留有足够的时间和空间，使不同的学生有不同的发展。
第四环节 回顾反思 课堂小结
活动内容：1.这一节课你学到了什么？有什么收获？
2.
3.相似三角形的判定方法定义法
活动目的：培养学生的归纳总结能力，加深对知识的理解和应用能力。
活动实际效果：通过小结发现每个学生都在积极思索这节课的内容，并能正确回答出相似三角形的定义、性质、以及它的表示法。
第五环节 布置作业
活动内容：习题4.6 1 、 2
四、教学反思
《相似三角形》是在学生已经学习了《相似多边形》后学习的内容。其主要教学目标是让学生在通过类比、探究的过程中，获得三角形相似的概念；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了教学目标。
在这节课中，我认为有以下几点感受较好：
1、这一节课通过情景创设，引入新知较恰当，切合实际。这样引入能很好的使学生体验温故而知新的道理，从而调动学生探索新知的兴趣和学习的积极性。
2、这节课较多的给学生提供自主学习，自主操作、自主活动的机会。不论是回顾旧知，还是探究新知，都是教师引导，学生自主探索。体现了学生是数学学习的主人的新理念。
3、在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培 养学生独立学习的能力。比如对特殊三角形，提出这两个三角形有什么关系？理由是什么？对任意两个三角形，老师请学生量一量、算一算，结果都是由学生自己操作、判断得出。体现了教师是数学学习的组织者、引导者和合作者的新理念。
这节课感到遗憾的是有些学生操作计算速度慢，没有时间等待他们探索出给论。这样他们对这节课所学的内容理解不透彻，不能更好应用新知解决问题，今后要加强注意给每个学生留有足够的时间和空间去思维，并且对不同的学生教师应提出不同的问题，使不同的学生得到不同的发展，进而使每个同学都得到应有的发展。