高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知角的终边过点P(－8m，－6sin30)，且cos＝－45，则m的值为()
A．－12B.12C．－32D.32
解析：∵|OP|＝64m2＋9，且cos＝－8m64m2＋9＝－45，
m＞0，且64m264m2＋9＝－1625＝－45，m＝12.
答案：B
2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：设扇形的圆心角为 rad，半径为R，
则2R＋R＝6，12R2＝2，解得＝1，或＝4.
答案：C
3．已知函数f(x)＝sinx＋3(＞0)的最小正周期为，则该函数图像()
A．关于直线x＝4对称 B．关于点(3，0)对称
C．关于点(4，0)对称 D．关于直线x＝3对称
解析：∵T＝，＝2.
∵当x＝4 时，f(x)＝12；当x＝3时，f(x)＝0，图像关于(3，0)中心对称.
答案：B
4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝cos2x－3的图像()
A．向右平移6个单位 B．向右平移3个单位
C．向左平移3个单位 D．向左平移6个单位
解析：由cos2x＝cos2x－3＝cos2x＋3
知，只需将函数y＝cos2x－3的图像向左平移6个单位.
答案：D
5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a的取值范围是()
A.0，12 B.12，1
C.－1，－12 D.－12，0
解析：∵3sin2＋cos2＝2sin2＋6，又34＜2＋6＜56 ，1＜2sin2＋6＜2，
即1＜2a＜2，0＜a＜12.
答案：A
6．函数y＝3sin－2x－6(x[0，])的单调递增区间是()
A.0，5 B.6，23
C.6，11 D.23，1112
解析：∵y＝－3sin2x＋6，由2k22x＋2k2，kZ，得
＋x＋23，kZ. 又x[0，]，k＝0.此时x6，23.
答案：B
7．已知tan＝12，tan(－)＝－25，那么tan(2－)的值是()
A．－112 B.112 C.322 D.318
解析：tan(2－)＝tan[＋(－)]＝tan＋tan(－)1－tantan(－)＝12－251－12－25＝112.
答案：B
8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x0，2时，f(x)＝sinx，则f53的值为()
A．－12 B.12 C．－32 D.32
解析：f53＝f53－2＝f－3＝f3＝sin3＝32.
答案：D
9．已知cos4＋cos4－＝14，则sin4＋cos4的值等于()
A.34 B.56 C.58 D.32
解析：由已知，得sin4－cos4－＝14，即12sin2－2＝14，cos2＝12.
sin22＝1－122＝34。则sin4＋cos4＝1－2sin2cos2＝1－12sin22＝1－38＝58.
答案：C
10．已知、为锐角，且sin＝55，sin＝1010，则＋＝()
A．－3 B.4或3 C.3 D.4
解析：∵、为锐角，且sin＝55，sin＝1010，
cos＝255，cos＝31010，且＋(0，)，cos(＋)＝coscos－sinsin
＝65050－5050＝55050＝22， ＋＝4.
答案：D
11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2B2＝a＋c2c，2cos2B2－1＝a＋cc－1，
cosB＝ac，a2＋c2－b22ac＝ac，c2＝a2＋b2， 故△ABC为直角三角形．
答案：B
12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()
A.2063米 B．106米 C.1063米 D．202米
解析：设折断点与树干底部的距离为x米．
则xsin45＝20sin(180－75－45)＝20sin60，
x＝20sin45sin60＝2023＝2063(米).
答案：A
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(aR，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________．
解析：由题意，得f4＝sin2＋acos24＝0，1＋12a＝0，a＝－2.
f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－4－1，
f(x)的最小正周期为.
答案：
14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34， 则△ABC的形状为__________．
解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，
tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3， tanC＝3，又C(0，)，C＝3.
sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，
cosAsinB＝34，sinAcosB＝cosAsinB，sin(A－B)＝0，A＝B.
△ABC为正三角形．
答案：正三角形
15．若将函数y＝tanx＋4(＞0)的图像向右平移6个单位后，与函数y＝tanx＋6的图像重合，则的最小值为__________．
解析： 由已知，得tanx－4＝tanx－＋4＝tanx＋6，得4－＝k＋
6(kZ)，＝－6k＋12(kZ)．∵＞0，当k＝0时，的 最小值为12.
答案：12
16．给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；
②若、为锐角，tan(＋)＝12，tan＝13，则＋2＝4；
③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．
其中真命题的序号是__________．
解析：①中，S扇形＝12R2＝121222＝1，
①不正确．
②中，由已知可得tan(＋2)＝tan[(＋)＋]＝tan(＋)＋tan1－tan(＋)tan＝13＋121－1312＝1，
又、为锐角，tan(＋)＝12＞0，0＜＋＜2.
又由tan＝13＜1，得0＜＜4， 0＜＋2＜34，＋2＝4.②正确．
③中，由sinA＜sinBBC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)BC＜AC.③正确．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，c osC＜0，
C为钝角，△ABC为钝角三角形．④正确．
答案：②③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知sin＝－55 ，tan＝－13，且、－2，0.
(1)求＋的值； (2)求2sin＝4－＋cos4＋的值．
解析：(1)∵sin＝－55，－2，0， cos＝255.tan＝－12，
tan(＋)＝tan＋tan1－tantan＝－1. 又∵－＜＋＜0，＋＝－4.
(2)由(1)知，＋＝－4，
2sin4－＋cos4＋＝2sin4－＋cos4－＝2sin4－＋cos
＝2cos－sin＝2255＋55＝5.
18．(12分)已知、为锐角，向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，sin)，c＝12，－12.
(1)若ab＝22，ac＝3－14，求角2－的值；
(2)若a＝b＋c，求tan的值．
解析：(1)ab＝(cos，sin)(cos，sin)
＝coscos＋sinsin
＝cos(－)＝22.①
ac＝(cos，sin)12，－12
＝12cos－12sin＝3－14.②
又∵0＜＜2，0＜＜2，－2＜－＜2.
由①得－＝4，由②得＝6.
∵、为锐角，＝512.从而2－＝23.
(2)由a＝b＋c，可得cos＝cosa－12， ③sin＝sin＋12. ④
③2＋④2，得cos－sin＝12.
2sincos＝34.
又∵2sincos＝2sincossin2＋cos2＝2tantan2＋1＝34，
3tan2－8tan＋3＝0.
又∵为锐角，tan＞0，
tan＝882－4336＝8286＝473.
19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)A＞0，＞0，－2＜2一个周期的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f()＋f－3＝2425，且为△ABC的一个内角，
求sin＋cos的值．
解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A＝1，
函数f(x)的周期为T＝ 412＋.
而T＝2，则＝2.
又x＝－6时，y＝0，sin2－6＋＝0.
而－2＜2，则3.
函数f(x)的表达式为f(x)＝sin2x＋3.
(2)由f()＋f－3＝2425，得
sin2＋3＋sin2－3＝2425，化简，得sin2＝2425.
(sin＋cos)2＝1＋sin2＝4925.
由于0 ＜＜，则0＜2＜2，
但sin2＝2425＞0，则0＜2＜，即为锐角，
从而sin＋cos＞0，因此sin＋cos＝75.
20．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB.
(1)求cosB的值．
(2)若BABC＝2，b＝22，求a 和c.
解析：(1)△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB，
由正弦定理，得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCco sB，
sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
sin(B＋C)＝sinA＝3sinAcosB.
∵sinA0，cosB＝13.
(2)∵BABC＝accosB＝ 13ac＝2，ac＝6.
∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4，
a2＋c2＝12，a2－2ac＋c2＝0，
即(a－c)2＝0，a＝c＝6.
21．(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB.
(1)求角C；
(2)试求△ABC面积S的最大值．
解析：(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，
两边同乘以2R，得
(2RsinA)2－(2RsinC)2＝(2a－b)2RsinB，
根据正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
a2－c2＝(2a－b)b，即a2＋b2－c2＝2ab.
再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，
又0＜C＜，C＝4.
(2)∵C＝4，A＋B＝34.
S＝12absinC＝24(2RsinA)(2RsinB)＝2R2sinAsinB
＝2R2sinAsin34－A＝22R2sin2A－4＋12R2，
当2A－2，即A＝38时，
S有最大值12＋22R2.
22．(12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinx(A＞0，＞0)，x[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP＝120.
(1)求A，的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解析：方法一：
(1)依题意，
故NP+MN＝1033sin＋1033sin(60－)
＝103312sin＋32cos
＝1033sin(＋60)．
∵0＜＜60，当＝30时，折线段赛道MNP最长．
即将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长．
方法二：(1)同方法一；
(2)在△MNP中，MNP＝120，MP＝5，
由余弦定理，得
MN2＋NP2－2MNNPcosMNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MNNP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MNMN＋NP22，
从而34(MN＋NP)225，即MN＋NP1033，
当且仅当MN＝NP时等号成立．
即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．