题目:已知:如图1,在△ABC中,BO、CO分别是ABC、ACB的平分线,试探求A与O之间的数量关系。
解:∵BO、CO分别是ABC、ACB的角平分线,
DBC
OCB=
∵OBC+OCB=
O+
又∵ABC+ACB=
O+
整理得:O=
一、变更数量关系推广
推广1:如图2,在△ABC中,ABO=
解:∵ABO=
ACO=
CBO=
又∵OBC+OCB=
O+
O+
推广2:如图2,在△ABC中,ABO=
仿照上述思路可得:O=
推广3:如图2,在△ABC中,ABO=
答:A与O之间的数量关系为:O=
二、变更图形推广
1. 将内角改为外角
推广4:如图3,在△ABC中,BO是ABC的平分线,CO是三角形的外角ACD的平分线,试探求A与O之间的数量关系。
解:∵BO是ABC的平分线,CO是ACD的平分线,
OBD=
又∵OCD=OBD+O,ACD=ABC+A,
整理得:
推广5:如图4,在△ABC中,BO、CO分别是三角形的外角DBC、ECB的平分线,试探求A与O之间的数量关系。
略解:
A=
O
联立两式,得:
2. 将线段改为折线
推广6:如图5、6,将线段BC改为折线BDC,BO、CO分别是ABD、ACD的平分线,请探求A、O、D之间的数量关系。
解:对于图5,连接BC,设DBC+DCB=
O+
联立以上三式可得:
对于图6有:O=
把两种推广方式结合起来,还可对该题做更进一步推广,例如将推广1与推广4结合可以得到推广7。
推广7:如图7,在△ABC中,ACD是它的一个外角,ABO=
试探求A与O之间的数量关系。
请仿照上述解法,自己求解,结论是:O=
将推广3与推广4结合可以得到推广8:
推广8:如图7,在△ABC中,ACD是它的一个外角,ABO=
显然,推广8也可以看作将推广7的结论一般化得到,结论是:O=
类似的,还可以做更多形式的推广,有兴趣的同学不妨试一试,你还可以和同学们在一起,比一比看谁做的推广更多,更有趣。
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