四年级奥数试题及答案：整数中的推理问题（B卷）
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.四年级三个班参加运动会,运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑三项比赛,各取前3名,第一名得5分,第二名得3分,第三名得1分.已知1班进入前3名的人数最少,2班进入前3名人数是1班的2倍,而这两个班所得总分相等，且是年级组的并列第1名,3班得了_______分.
2.A,B,C,D,E 5人在一次满分为100分的考试中,得分都是大于91的整数.如果A,B,C的平均分是95分;B,C,D的平均分是94;A是第一名;E是第三名得96分,问D得了_____分.
3.在一次象棋比赛中,规定每个选手必须与其他选手恰好比赛一盘,胜者得2分,负者不得分,平局各得1分.现有五名工作人员分别统计了全部选手的得分总数,各为:
131分,132分,133分,134分和135分
当然,至少有四个数是错的.经核实,确有一个人统计结果正确.那么,有____名选手参加比赛?
4.由A,B,C三个班中各出3名学生比赛长跑.规定第一名得9分,第二名得8分,第三名得7分,…,第八名得2分,第九名得1分.比赛结果是三个班总分相等,而且九名学生没有名次并列的,也没有同一个班的学生获得相连名次的.如果第一名是C班的,第二名是B班的,那么最后一名是______班的?
5.三名学生进行了若干科目的考试,以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多,其次是第二名,第三名得分最少.各科都是如此记分.已知甲最后得22分,乙最后得9分,丙也是得9分.并且已知乙英语考试得了第一名,数学第二是_____.
6.A,B,C,D,E5人参加一次满分为10分的考试.
A说:"我得了4分."
B说:"5人中我得分最高."
C说:"我的得分是A与D的平均分."
D说:"我的得分是5个人的平均分."
E说:"我的得分是比C多2分,是第二名."
B得了______分.
7.甲乙共有图书63册,乙丙共有图书77册,三人中图书最多的人的册数是图书最少的人的册数的2倍.那么,甲乙丙三人分别有图书______册,______册,______册.
8.某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男孩比最小的女孩大4岁,最大的男孩的岁数是______.
9.一个能被8整除的三位数,把它的数字顺序颠倒,得到一个新的三位数,这两个三位数的和等于1111,这个三位数分别是______,______,_______.
10.将1,2,3,4,5,6,7,8八个数分成两组,每组4个数,并且两组数之和相等.从A组拿一个数到B后,B组的数之和将是A组剩下的3数之和的2倍;从B组拿一个数到A组后,B组剩下的3数之和是A组5个数之和的 .
第一组是_______,________,________,________.
第二组是_______,________,________,________.
二、解答题
11.从1至10十个整数中,选出5个数A,B,C,D,E满足下面6个条件;
(1)D比6大;
(2)D能被C整除;
(3)A与D的和等于B;
(4)A,C,E三数之和等于D;
(5)A与C的和比E小;
(6)A与E的和比C与5的和小.
找出所有解答.
为了书写方便,A =1,B =7,C =4,D =2,E =10(不是解答)可简写在(1,7,2,4,10).
12.A,B,C三人进行小口径步枪射击比赛,每个人射击6次,并且都得了71分,三人共18次的得分情况,从小到大排列为:
1,1,1,2,2,3,3,5,5,10,10,10,20,20,20,25,25,50
已知A首先射击两次,共得22分;C第一次射击只得3分,请根据条件判断,是谁击中了靶心(击中靶心得50分).
13.某人的电话号码是5位数.下面10个5位数
17560
44356
41892
25731
78697
22171
90389
79500
53970
86075
其中每一个数与电话号码,恰好在同一位上有一个相同的数字,求出这个电话号码.
14.教师对五名学生进行了一次测验,测验成绩按总分排列为:甲、乙、丙、丁、戊.考试的科目是英语、数学、历史、物理和语文,记分办法是每科第一名得5分,以下依次得分为4、3、2、1.现知道:
(1)在同一科目中以及在总分中没有得相同分数的人;
(2)甲的总分是24分;
(3)丙有四门功课得了相同的分数;
(4)戊的物理得5分,语文得3分;
(5)丁的历史得4分.
列出这次考试每个人的成绩表.
---------------答 案----------------------
一、填空题
1. 3班得了7分
1班得的名次如果是3人,则2班需有6人得名次,但这样一来全部9个名次均被2个班瓜分,却无法产生并列第一名:全部得分[3×(1+3+5)=]27是奇数.因此1班至多只有2人得名次,而2人得名次还只能都拿第一名才能满足与2班并列第一的要求,若有一人拿第二,则只能拿8分,而这不超过平均分(27÷3=)9分.据此,1班和2班各得10分,3班必然得(27-10×2=)7分.
2. D得了97分.
分析B、C、D中谁是第二名.如果B是第二名,由E得96分,A,B得至少97.A,B,C三人平均95分 95×3-97×2=91,C最多91分,与题目条件不符合.同样道理C也不是第二名.只能D是第二名.D最少97分,A最少100分.
3. 参赛选手有12名.
参赛选手中每两人赛一盘,与若干个点、每两点连一条线段相当.可用数线段方法算出比赛的总盘数,每盘提供2分.
不论赛多少盘,选手所得的总分应是偶数,所以,131分,133分和135分必不对.
设n个选手参赛,比赛盘数:
总分数:
这是两个连续自然数之积.它的个位上数字有如下的可能:
0(4×5,5×6)
2(1×2,3×4,6×7,8×9)
6(2×3,7×8)
所以,134分必错.
那么,正确的总分只能是132分.
n必是两位数,且十位上为1,所以,
132=11×12,即n=12
答:参赛选手有12名.
4. 最后一名是B班的学生.
九名学生的总得分为:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
由于三个班的总分相等,即每个班均为15分,将1-9这9个自然数,三个数一组分为3组,使每组之和都是15,只有以下两种情况:
(1)一组得分为:9,5,1
二组得分为:7,6,2
三组得分为:8,4,3
(2)一组得分为:8,6,1
二组得分为:9,4,2
三组得分为:7,5,3
在第一种情况中,二组、三组都有相连的数,即相连的名次,这不合题意,所以只能取第二组的数字.
那么C班有第一名,得分是9,4,2;B班有第二名,得分是8,6,1,则A班得分为7,5,3.可见最后一名是B班的学生.
5. 数学第二只能是丙.
由乙英语第一,至少乙得3分,且总分为9分.所以科目不会多于7科,且每科第一名至多得8分.又由甲总分为22分,所以考试科目不少于3科.
因为三人共得40分,而每科分配得分情况相同,故考试科目应是40的约数,而3,6,7都不是40的约数,所以只可能是4科或5科.若4科,每科共有10分,按名次分配应有4种:(7,2,1)、(6,3,1)、(5,4,1)、(5,3,2).
由甲共得22分,且至多有3科第一(英语不是第一),则后三种情况不成立,因为即使3科第一,1科第二,总分也达不了22分.
又由乙得9分,且英语第一,如果按(7,2,1)分配,即使其他三科都是最后一名,得1分,总分也超过9分.所以,以上几种情况不能成立.
若是5科,每科共为8分,按名次分配只有两种:(5,2,1)、(4,3,1).而后一种也不能成立,原因仍然是不能与甲22分吻合,所以只有(5,2,1)符合题意.
按照这样分配方案:乙的得分情况是5,1,1,1,1.甲的得分情况是5,5,5,5,2,且得2分的科目只能是英语,所以数学第二只能是丙.
6. B得了8分.
D的得分不能比A少,也不能与A得分一样.否则D成为5人中得分最少的.就不是5人的平均分.因此5人得分从大到小次序是B,E,D,C,A.
A得4分,C得A与D的平均分,D的得分也一定是偶数,D不能是10分或8分;否则B的得分要超出10分.D只能得6分,C得5分,E得7分.B的得分是:
6×5-(7+6+5+4)=8(分)
7. 甲有21册书,乙有42册书,丙有35册书.
根据已知条件,甲乙之和小于乙丙之和,则甲之册数小于丙之册数.因而乙有三种可能:最多、最小或居中.若能否定其中两种可能,则另一种必成立.然后计算各人册数.
先假设乙的图书最少,则丙的图书最多.那么,乙丙之和应是3的倍数.(最多数是最少数的2倍).
然而3|77
所以作的假设是谬误的.
再假设乙之数居中,则甲丙之差是甲的册数,且可求乙丙册数.
甲:77-63=14(册)
乙:63-14=49(册)
丙:77-49=28(册)
2849
结论与丙为最多的条件矛盾,所作假设也是谬误的.
那么,乙必定是最多的.相应甲是最少的,丙之数居中.可作如下合理计算:
甲:63÷(1+2)=21(册)
乙:21×2=42(册)
丙:77-42=35(册)
答:甲有21册书,乙有42册书,丙有35册书.
8. 最大男孩是8岁.
分两种情况考虑:(1)最小的男子是4岁.(2)最小的女孩是4岁.
9. 这个三位数是704.
把这道题目写成数字谜形式,设三位数是 ,就有
A B C
+ C B A
1 1 1 1
很明显,A+C=11,B=0.这个三位数一定是偶数,只能是308,506,704,902其中一个数,被8整除只有704.
10. A组的4个数是1,4,6,7;
B组的4个数是2,3,5,8.
1+2+3+4+5+6+7+8=36.
因此每组4个数之和是36÷2=18
因为 36÷(2+1)=12
所以从A组拿出一个数到B组,要使B组5数之和是A组剩下3数之和的2倍,从A组拿出的数一定是18-12=6.
因为 ,
所以从B组拿出一个数到A组,要使B组剩下3数之和是A组5数之和的 ,从B组拿出的数一定是21-18=3.
上面的推理说明,分组是6在A组,3在B组.
A组中其他3数之和是12,在1,2,4,5,7,8六个数中,和12的三数,只有1,4,7.
因此分在A组的4个数是1,4,6,7;分别在B组的4个数是2,3,5,8.
11. 本题有两个答案:(1,9,2,8,5)与(1,10,3,9,5)
从条件(1),D可能是7,8,9,10,但D=10,就不能满足条件(3).我们就D=7,8,9三种情况,列表来逐条检查是否满足条件.
(1)D=7
条件(2)C=1
(3)A=2
B=9 A=3
B=10
(4)E=4不存在
(5)√
(6)×
(2)D=9
条件(2)C=1C=9
(3)不存在 A=1
B=10
(4)E=5
(5)√
(6)√
(3)D=8
条件(2)C=1C=2C=4
(3) A=2
B=10A=1
B=9A=1
B=9 A=2
B=10
(4)E=5E=5E=3不存在
(5)√√×
(6)×√
上面表中"√"表示满足这一条件,"×"表示不满足这一条件.通过表格分析,就知道本题有2个解答:
(1,9,2,8,5)与(1,10,3,9,5)
当需要分析的情况较多时,特别是层次较多时,使用表格就非常方便,本题就是使用表格较好的例子.表格要自己设计,才能使解题得心应手.会使用表格和设计表格是一种解题本领.
12. C是击中靶心的人.
我们先来推断A6次射击的情况.已知前两次得22分,6次共得71分,从71-22=49可知,击靶心的决不会是A,另一方面,在上面18个数中,两数之和等于22的只可能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先,在这四个数中,如果没有25,是绝不可能组成49的.其次,由于49-25=24,则如果没有20,任何三个数也不能组成24.而24-20=4,剩下的两个数显然只能是1和3了.所以A射击6次的得分,应该是
20,2,25,20,3,1
(可在前面18个数中,划去上述6个数)
再来推断击中靶心的人6次得分的情况,从71-50=21
可知,要在前面12个未被划去的数中,取5个数,使其和是21.可以断定,这5个数中必须包括一个10,一个5,一个3,一个2,一个1,即6次得分情况为
50,10,5,3,2,1
就是第三个人的得分情况了.
从这6个数中没有3,而C第一次得了3分,可知这6个数是C射击的得分数.因此C是击中靶心的人.
13. 电话号码是26390
恰好在同一位有一个相同的数字.十个数要出现十次这样的"相同".注意:
万位上有两个2,两个4,两个7;
千位上没有数字是重复的;
百位上有两个3,两个5;
十位上有三个7,两个9;
个位上有三个0,两个1.
在千位只能有一次相同,因此其它位至少有一位上有三次相同.但是如果有两位上三次相同,后两位只能7,0.数53970就有二位上相同,因此只能在一位上有三次相同.这样一来还有三位都必须有两次相同.现在已能得出结论,最后两位是71或90.但有数22171,最后两位只能是90.去掉所有十位是9,和个位是0的数(在其它各位上不能再有与电话号码相同的数),还留下五个数
4 4 3 5 6
2 5 7 3 1
2 2 1 7 1
9 0 3 8 9
8 6 0 7 5
万位上有两次相同,只有数字2;百位上有两次相同,只有数字3,千位上的一次相同只能是最后一位数的千位数6.
14.
甲乙丙丁戊
英语54321
数学54321
历史52341
物理41325
语文54123
由题意,五个人的总分之和为75.甲总分为24分,则乙、丙、丁、戊四人总分之和为51分.由(4)戊最少要得11分,由于戊的总分最低,所以乙、丙、丁、戊的总分只能分别是15,13,12,11分.由此可知戊的英语、历史、数学成绩均为1分,甲的总分为24分,可推出甲的成绩是有四科为5分一科为4分.已知戊物理得5分,所以甲物理得4分.再由丙总分为13分,且有四科得分相同,可推出丙四科3分一科1分.由戊语文得3分,所以丙语文得1分.丁总分为12分.由于全部的5分、3分和四个1分都被其他人所得,所以丁的各科成绩只能都是偶数分,且只能是四科2分,一科4分,由条件(5),丁历史得4分,由此推出乙的各科成绩为:英语4分,历史2分,数学4分,物理1分,语文4分.