1.第25个三角形数是几?
2.第50个三角形数是几?
3.第1000个三角形数是几?
4.三角形数的奇偶性是很有规律的,
想一想,这是为什么?
5.观察下列图形,你能发现什么?
6.第99个与第100个三角形数的和等于多少?
7.每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如,100是哪两个三角形数的和?
8.第8个三角形数恰是第6个四角形数,因为
你还能试着找到一个这样的例子吗?(这事比较困难)
9.请你试着画一画五角形数和六角形数的图形.并试着把第n个五(六)角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式.
10.写出前10个四面体数.
11.写出前10个五面体数.
12.按不同的方法对下图中的点进行数数与计数,得出一系列等式,进而猜想出一个公式来,从中体会数与形之间的微妙关系.如:
因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:
请你照此继续做下去.(可参考本讲例7)
13.模仿例7,用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数,先得出一系列等式,进而猜想出一个重要的公式.
习题解答
1.解:1+2+3++25
=(1+25)252=325.
2.解:1+2+3++50
=(1+50)502=1275.
3.解:1+2+3++1000
=(1+1000)10002=500500.
4.解:观察前几个三角形数的构成,就可以发现其中的规律:
第1个数=1奇数;
第2个数=第1个数+2奇数+偶数=奇数;
第3个数=第2个数+3奇数+奇数=偶数;
第4个数=第3个数+4偶数+偶数=偶数;
第5个数=第4个数+5偶数+奇数=奇数.
5.解:相邻的两个三角形之和是一个四角形数(或叫正方形数),或是说,一个四角形数,可以拆成两个三角形数之和.
或者根据第6题,=第100个四角形数=100100=10000.
6.解:
7.解:能拆.100=55+45.
8.解:寻找这样的例子比较困难.有人找到第49个三角形数是第35个四角形数,因为:
(49+1)492=1225=352.
副标题#e#
9.解:五角形数如下图所示:
第一个数:1=l
第二个数:5=1+4
第三个数:12=1+4+7
第四个数:22=1+4+7+10
第五个数:35=1+4+7+10+13
六角形数如下图所示:
第一个数 1=1
第二个数 6=1+5
第三个数 15=1+5+9
第四个数 28=1+5+9+13
第五个数 45=1+5+9+13+17.
10.解:
11.解:
12.解:继续做下去,见下两图.
把上面的几个等式连起来看,进一步联想下去,可猜想出一个一般的公式:
13.解:见图(a)和图(b)
方法1:
分4块数:22+223+32.
方法2:看成一个整体:
(2+3)2
得等式:22+2232=(2+3)2.
方法1:分4块数:
32+234+42.
方法2:看成一个整体:(3+4)2.
得等式:
32+234+42=(3+4)2.
进一步猜出一般公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2.
或a2+2ab+b2=(a+b)2